Auslosung CL/EL 2017/18

[diyx]

Danke Sonnengott, das ist wieder sehr interessant!

Mich würde interessieren, woher es kommt, dass sich die Wahrscheinlichkeit ändert, wenn du nacheinander die Partien ziehst anstatt alle gleichzeitig zu losen?

[Sonnengott]

In den meisten Fällen sind die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich, wenn man sämtliche Paarungen gleichzeitig uniform auswählt oder die Paarungen eine nach der anderen bestimmt.

Bei einer komplett freien Auslosung mit zwei Töpfen mit je n Teams (wie zum Beispiel im Meisterpfad der Playoffs zur CL, wo ja keine Nation doppelt vertreten sein kann) gibt es genau n! = n*(n-1)*...*2*1 verschiedene Ergebnisse der Auslosung. Die Wahrscheinlichkeit 1/n! für ein einzelnes Ergebnis ändert sich auch dann nicht, wenn man die Paarungen nacheinander zieht: Die erste Paarung ist mit Wahrscheinlichkeit 1/n die "richtige", die nächste mit Wahrscheinlichkeit 1/(n-1) und so weiter.

Sobald aber Einschränkungen vorhanden sind, muss dies nicht mehr der Fall sein. Schauen wir uns mal ein Extrembeispiel an. Die Teams aus Topf 1 nennen wir mal A bis H, die aus Topf 2 entsprechend a bis h. Angenommen, A und a dürfen jeweils gegen alle Teams im anderen Topf spielen, ansonsten sind aber nur die Partien B gegen b, C gegen c und so weiter erlaubt. Dann gibt es genau acht mögliche Ergebnisse einer Auslosung (sobald der Gegner von A feststeht, gibt es nur noch eine Möglichkeit für den Rest). Bei einer uniformen Auswahl hätte jedes Ergebnis also Wahrscheinlichkeit 1/8. Wählt man die Partien aber nacheinander, dann hat das Ergebnis, bei dem A gegen a spielt, eine deutlich kleinere Wahrscheinlichkeit, nämlich

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1   1     7   1   1   1     7   1   6   1   1   1           4
- * -  +  - * - * - * -  +  - * - * - * - * - * -  ...  =  ---.
8   8     8   2   7   7     8   2   7   2   6   6          105

(Der erste Summand ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus Topf 1 zuerst A (Wahrscheinlichkeit 1/8) und aus Topf 2 dann a (wieder 1/8) gezogen wird. Der zweite Summand beschreibt den Fall, dass aus Topf 1 zuerst nicht A gezogen wird (7/8), dieses Team nicht a als Gegner bekommt (1/2), dann A als nächstes Team aus Topf 1 gezogen wird (1/7) und schließlich a zugelost wird (1/7). Im dritten Summanden wird A als drittes aus Topf 1 gezogen etc.)


Extrem beeinflusst wurden die Wahrscheinlichkeiten bei der Auslosung der WM-Gruppen, insbesondere für Russland. Mit sechs europäischen Mannschaften in Topf 1 und drei südamerikanischen in Topf 2 mussten genau drei europäische Topf-1-Manschaften einen südamerikanischen Gegner bekommen. Da Russland als Kopf von Gruppe A gesetzt war und das erste gezogene Team aus Topf 2 automatisch in diese Gruppe kam, hatten sie eine Wahrscheinlichkeit 3/8 für einen südamerikanischen Gegner. Die anderen fünf europäischen Mannschaften waren keiner Gruppe zugeordnet und hatten somit alle Wahrscheinlichkeit 21/40 für einen südamerikanischen Gegner (denn die Summe der sechs Wahrscheinlichkeiten muss der Anzahl der südamerikanischen Teams in Topf 2 entsprechen).

[stefan]

Bayern mit absolutem Losglück. Der leichteste Gegner der zu erwischen war. Alles Gute für die geschundenen Deutschen.
Schweres Los für Salzburg, Viktoria Pilsen hat es leichter im Kampf um Platz 11, für Basel war sowieso ein schweres Los vorprogrammiert.
Auch Leipzig und Dortmund mit schwierigen Aufgaben.

[SirHenri]

Mega-Auslosung !!

Meine beiden Traumpaarungen (Real-PSG und Bayern-Besiktas) sind Realität geworden !

Das war ja zum Zittern, am Ende nur noch Barca oder Besiktas im Topf

Paris wird rasen vor Wut, dass sie Gruppenerster wurden

[Vorbeck]

Juventus Turin - Tottenham Hotspur
FC Basel - Manchester City
FC Porto - FC Liverpool
FC Sevilla - Manchester United
Real Madrid - Paris Saint-Germain
Schachtjor Donezk - AS Rom
FC Chelsea - FC Barcelona
FC Bayern - Besiktas Istanbul

Besser hätte es für Bayern nicht kommen können. Weiterkommen ist absolut Pflicht.
Und PSG wird Gruppenerster vor Bayern und kriegt nun als Belohnung Real Madrid. Auch klasse

[kleinerfisch]

Auch sonst eine gute Auslosung:
England hat mit Juve, Barca immerhin 2 von 4 möglichen Hammergegner bekommen. Dazu ManCity mit leichtem Los (die wären aber wohl gegen jeden weitergekommen), ManU mit ebenfalls schwerem Gegner. Nur Liverpool hatt Glück.
Italien leider schon eher glücklich, besonders die Roma.
Frankreich dagegen mit Mega-Pech.

Auf jeden Fall sehe ich nur zwei sichere Gewinner: Bayern und ManCity, mit Abstrichen noch Liverpool und Rom.
Es wird interessant.

[Soki@Work]

Mega-Auslosung !!
[...]
Paris wird rasen vor Wut, dass sie Gruppenerster wurden

Tja, sie MUSSTEN die Bayern ja unbedingt 3:0 schlagen -> Sh*t happenz...
Sollten sie allerdings weiterkommen, gibt es auf dem Weg zum Titel kaum ernstzunehmende Hürden...

Ein wenig tun mir die Bebbie leid, quasi im Letzten Moment auf den CL-KO-Zug aufgesprungen - und jetzt gegen den dritten TOP-Favoriten (neben Real, PSG). Wär doppelt hart, wenn ZSKA 'nen Pipifax-Los kriegte u bis ins EL-HF käme.

[SirHenri]

Atalanta für Dortmund. Hätte besser kommen können, aber ich bin optimistisch.

PUHHHH...nochmal Italien, das war nicht doll. Quasi worst case für Leipzig. Napoli.

[Vorbeck]

Atalanta für Dortmund. Hätte besser kommen können, aber ich bin optimistisch.

Es hätte aber auch deutlich schlimmer werden können.

Sowie bei RB...es wird Neapel. Schlimmer hätte es für RB nicht kommen können.

[Jimbojack]

Und es kam schlimmer....